Une étude de fonction :
Dans ce qui suit, on munit le plan d'un repère orthonormé \( (O;\vec{i};\vec{j}) \).
On considère les points I(1;0) ; J(0;1) et K(1;1).
On note f la fonction définie sur [0;1] par \(f(x)=-x^3+x\).
On veut à l'aide d'un nouvel algorithme, l'algorithme de Monte-Carlo, trouver une approximation de \(\int_{0}^{1} {-x^3+x} \, \mathrm{d}x\). La méthode de Monte-Carlo est une méthode probabiliste. Dans notre cas, puisque les questions précédentes permettent d'affirmer que, sur [0;1], \(C_f\) est incluse dans le carré unité OIKJ, on crée, de manière aléatoire, dans le carré unité des points dont les coordonnées suivent une loi uniforme. Puis dans un deuxième temps, on compte le nombre de points qui se situent sous la courbe \(C_f\). On aura ainsi une approximation de \(\int_{0}^{1} {-x^3+x} \, \mathrm{d}x\).
Programmer l'algorithme précédent à l'aide de Python.
Tester votre programme pour des tailles d'échantillon de plus en plus grande. Ces résultats sont-ils cohérents ?
Quelle loi suit la variable qui compte le nombre de points sous la courbe ?
Que doit-on modifier dans l'algorithme précédent afin d'obtenir une approximation de \(\int_{1}^{4} {f(x)} \, \mathrm{d}x\) où \(f(x)=x^2-4x+5\) ?
Dans cette partie, on travaille à nouveau avec la fonction \(f\) de la partie A. Que constate-t-on lorsqu'on utilise le programme construit pour la fonction \(f\) pour 5 échantillons successifs de taille \(n=100\) puis de taille \(n=1000\) puis de taille \(n=10000\) ? On complètera les tableaux suivants :
Analysez rapidement ces résultats
Notre objectif, dans cette partie, est d'observer, dans un repère, la fluctuation des aires (c'est à dire des fréquences) constatez dans la partie B.
Pour cela, on va construire un nouveau programme qui utilisera le précédent et qui va créer le nuage de points dans lequel chaque point correspond à un échantillon ont les représentation représenter les fréquences des différents échantillons.