Activité 7 : La méthode du balayage

• S'approprier la méthode du balayage qui permet d'obtenir un encadrement d'une solution d'un équation du type \(f(x)=k\) où \(\small{k \in \mathbb{R}}\) .
• Programmation de l'algorithme en langage Python
• Un exemple d'utilisation de la boucle non bornée (structure Tant_Que)

Partie A

Soit la fonction \(f\) définie sur \(\small{\mathbb{R}}\) par \(f(x)=x^3+x-14\) et soit \(C_f\) sa courbe représentative.

1. Après avoir étudier les variations de la fonction \(f\) sur \(\small{\mathbb{R}}\), donner son tableau de variation complet sur \(\small{\mathbb{R}}\).

2. Étudier le nombre de solution de l'équation \(f(x)=0\) sur \(\small{\mathbb{R}}\). On justifiera soigneusement la réponse.

3. Répondre aux questions suivantes en ne faisant avec votre calculatrice qu'une seule opération.
   

   1. Les points \(A(-2;\frac{59}{50}-\frac{23}{20})\) et \(B(3;\frac{4}{5}-\frac{9}{10})\) sont-ils tous les deux du même côté de l'axe des abscisses ?

   2. Les points de \(C_f\) d'abscisses -3 et -2 sont-ils du même côté de l'axe des abscisses ?

Partie B

1. En vous inspirant de ce que vous venez de faire dans les questions 3a et 3b, proposez un programme Python qui permettra à son utilisateur, en tâtonnant, d'obtenir un encadrement d'amplitude 1 de la solution de l'équation \(f(x)=0\) par la méthode du balayage.

   Aide à la programmation : On rappelle comment on crée une structure conditionnelle en Python
   

   if condition:
       instructions si la condition est vraie
   else:
       instructions si a condition est fausse

2. En introduisant une structure Tant_Que dans le programme précédent, proposer un nouveau programme qui permettra à son utilisateur d'obtenir automatiquement un encadrement d'amplitude 1 de la solution de l'équation \(f(x)=0\) par la méthode du balayage.

   Aide à la programmation : On rappelle comment on crée une structure non bornée en Python (while)
   

   while condition:
       instructions

3. Modifier l'algorithme précédent de manière à ce que son utilisateur puisse choisir l'amplitude de l'encadrement de la solution de l'équation \(f(x)=0\).
   En étudiant soigneusement les résultats obtenus par Python, donner un encadrement d'amplitude \(10^{-3}\) de la solution de l'équation \(f(x)=0\).

   Une solution de cette question : Voir
   

   Attention aux résultats que l'on obtient !
   En effet, lorsqu'on affecte à \(h\) la valeur 0,25 tout se passe bien. Par contre, si on lui affecte la valeur 0,1, on obtient des résultats surprenants.
   explications

4. Modifier l'algorithme précédent de manière à ce que son utilisateur puisse choisir une valeur de \(k\) et l'amplitude de l'encadrement de la solution de l'équation \(f(x)=0\).
   En étudiant soigneusement les résultats obtenus par Python, donner un encadrement d'amplitude \(10^{-3}\) de la solution de l'équation \(f(x)=k\).

   Une solution de cette question : Voir