Activité 7 : La méthode du balayage

Objectif :

Partie A

Soit la fonction \(f\) définie sur \(\small{\mathbb{R}}\) par \(f(x)=x^3+x-14\) et soit \(C_f\) sa courbe représentative.

  1. Après avoir étudier les variations de la fonction \(f\) sur \(\small{\mathbb{R}}\), donner son tableau de variation complet sur \(\small{\mathbb{R}}\).

  2. Étudier le nombre de solution de l'équation \(f(x)=0\) sur \(\small{\mathbb{R}}\). On justifiera soigneusement la réponse.

  3. Répondre aux questions suivantes en ne faisant avec votre calculatrice qu'une seule opération.

    1. Les points \(A(-2;\frac{59}{50}-\frac{23}{20})\) et \(B(3;\frac{4}{5}-\frac{9}{10})\) sont-ils tous les deux du même côté de l'axe des abscisses ?

    2. Les points de \(C_f\) d'abscisses -3 et -2 sont-ils du même côté de l'axe des abscisses ?

Partie B

  1. En vous inspirant de ce que vous venez de faire dans les questions 3a et 3b, proposez un programme Python qui permettra à son utilisateur, en tâtonnant, d'obtenir un encadrement d'amplitude 1 de la solution de l'équation \(f(x)=0\) par la méthode du balayage.

    Aide à la programmation : On rappelle comment on crée une structure conditionnelle en Python

    if condition:
        instructions si la condition est vraie
    else:
        instructions si a condition est fausse
  2. En introduisant une structure Tant_Que dans le programme précédent, proposer un nouveau programme qui permettra à son utilisateur d'obtenir automatiquement un encadrement d'amplitude 1 de la solution de l'équation \(f(x)=0\) par la méthode du balayage.

    Aide à la programmation : On rappelle comment on crée une structure non bornée en Python (while)

    while condition:
        instructions
  3. Modifier l'algorithme précédent de manière à ce que son utilisateur puisse choisir l'amplitude de l'encadrement de la solution de l'équation \(f(x)=0\).
    En étudiant soigneusement les résultats obtenus par Python, donner un encadrement d'amplitude \(10^{-3}\) de la solution de l'équation \(f(x)=0\).

    Une solution de cette question : Voir

    Attention aux résultats que l'on obtient !
    En effet, lorsqu'on affecte à \(h\) la valeur 0,25 tout se passe bien. Par contre, si on lui affecte la valeur 0,1, on obtient des résultats surprenants.
    explications

  4. Modifier l'algorithme précédent de manière à ce que son utilisateur puisse choisir une valeur de \(k\) et l'amplitude de l'encadrement de la solution de l'équation \(f(x)=0\).
    En étudiant soigneusement les résultats obtenus par Python, donner un encadrement d'amplitude \(10^{-3}\) de la solution de l'équation \(f(x)=k\).

    Une solution de cette question : Voir