Activité 8 : La méthode de la dichotomie

• S'approprier la méthode de la dichotomie qui permet d'obtenir un encadrement d'une solution d'une équation du type \(f(x)=k\) où \(\small{k \in \mathbb{R}}\) .
• Programmation de l'algorithme en langage Python
• Un nouvel exemple d'utilisation de la boucle non bornée (structure Tant_Que)

On considère toujours la fonction \(f\) définie sur \(\small{\mathbb{R}}\) par \(f(x)=x^3+x-14\) et soit \(C_f\) sa courbe représentative.
On rappelle que la fonction \(f\) est continue et strictement croissante sur \(\small{\mathbb{R}}\).
On s'intéresse toujours à l'équation \(f(x)=0\).
D'après la méthode du balayage, l'équation \(f(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \(\small{\mathbb{R}}\) et \(2<\alpha<3\)

Partie A : Etude de l'algorithme

1. Après avoir calculer \(f(2,5)\), donner un encadrement d'amplitude 0,5 de \(\alpha\).

2. En calculant l'image d'un seul nombre, déterminer un encadrement d'amplitude 0,25 de \(\alpha\).

3. En utilisant les questions précédentes, recopiez et complétez le tableau suivant puis appelez le professeur pour vérification.
   

4. Quel est l'amplitude de l'intervalle obtenu après l'étape 4 ? Donner alors l'encadrement.

Partie B : La programmation en Python

1. En vous inspirant de ce que vous venez de faire dans la partie A, proposez un programme Python qui permettra à son utilisateur, qui connaît un encadrement d'amplitude \(x\) de \(\alpha\), d'obtenir un encadrement d'amplitude \(\frac{x}{2}\).

   Aide à la programmation : On rappelle comment on crée une structure conditionnelle en Python
   

   if condition:
       instructions si la condition est vraie
   else:
       instructions si a condition est fausse

2. En introduisant une structure Tant_Que dans le programme précédent, proposer un nouvel algorithme qui permettra à son utilisateur de saisir une amplitude et d'obtenir l'encadrement, de l'amplitude souhaitée, de \(\alpha\) par la méthode de la dichotomie.

   Aide à la programmation : On rappelle comment on crée une structure non bornée en Python (while)
   

   while condition:
       instructions

   Une solution de cette question : Voir

3. Transformer cet algorithme de manière à ce qu'il permette de donner un encadrement de la solution de l'équation \(f(x)=k\) dans \(\small{\mathbb{R}}\).

   Une solution de cette question : Voir